Teorema de Seifert-van Kampen

Enunciado

Supongamos que $X = U \cup V$ , con $U$ y $V$ abiertos, y $U \cap V \neq \emptyset$ arco conexa. Además, sean $ι : U \to X$ y $ι^{'} : V \to X$ inclusiones. Entonces, para todo $x_{0} \in U \cap V$ , las imágenes de los homomorfismos inducidos

ι_{*} : π_{1} (U, x_{0}) \to π_{1} (X, ι (x_{0})), ι_{*}^{'} : π_{1} (V, x_{0}) \to π_{1} (X, ι^{'} (x_{0}))

generan el grupo $π_{1} (X, x_{0})$ .

Demostración

Tomamos $[α] \in π_{1} (X, x_{0})$ . La intención es separar el lazo $α$ en varios segmentos, los cuales deben ser a su vez lazos, para poder tratarlos individualmente, cada uno contenido o bien en $U$ o bien en $V$ .

Existe una partición de $[0, 1]$ de forma que $0 = a_{0} < a_{1} < \dots < a_{n} = 1$ tal que $α (a_{i}) \in U \cap V$ . Asimismo, $α_{i} := α ([a_{i - 1}, a_{i}])$ está completamente contenido en $U$ o en $V$ ^[1]. Como consecuencia inmediata:

[α] = [α_{1} * \dots * α_{n}]

Todavía no está

Estos caminos no prueban lo que se quiere pues no son lazos, por lo que es necesario cerrarlos.

Cada curva $α_{i}$ es un camino uniendo puntos de $U \cap V$ . Puesto que por hipótesis es arco conexo, podemos tomar un arco $γ_{i}$ uniendo $x_{0}$ con $α (a_{i})$ . En particular, puesto que $α (a_{0}) = x_{0} = α (a_{n})$ , los arcos $γ_{1}$ y $γ_{n}$ son constantes^[2].

Finalmente, definiendo $β_{i} = γ_{i - 1} * α_{i} * {\bar{γ}}_{i}$ , se tiene que $β_{i}$ es un lazo basado en $x_{0}$ y además

[β_{1} * \dots * β_{n}] = [α_{1} * \dots * α_{n}] = [α]

Teniendo, en efecto, que el lazo $α$ es la concatenación de lazos $β_{k}$ contenidos o bien en $U$ o bien en $V$ . ^[3]

Intuición

Una curva en $X$ será la concatenación de otros lazos que pertenecerán totalmente a $U$ o a $V$ .

$α (a_{i})$ simboliza el punto donde el lazo $α$ pasa de un segmento $α_{i}$ al siguiente, los cuales solo pueden encontrarse dentro de la intersección $U \cap V$ . ↩︎
Porque están uniendo un punto consigo mismo. ↩︎
Cada uno individual, no toda la concatenación, claro. ↩︎